Question

【題目】如圖，正方體的棱長為2，、分別為棱、上的點，且與頂點不重合.

（1）若直線與相交于點，求證：、、三點共線；

（2）若、分別為、的中點.

（ⅰ）求證：幾何體為棱臺；

（ⅱ）求棱臺的體積.

（附：棱臺的體積公式，其中、分別為棱臺上下底面積，為棱臺的高）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（�。┳C明見解析；（ⅱ）

【解析】

（1）由平面，平面，平面平面，根據(jù)點在兩個不重合的面內(nèi)，則點在兩個面的公共線上即可證出.

（2）（ⅰ）連，、分別為棱、的中點，證出四邊形為梯形，從而可得與相交，再由（1）可得直線、、交于一點，由平面平面，即可證出.

（ⅱ）求出，，以及棱臺的高，代入棱臺的體積公式即可求解.

證明：（1），

，，

平面，平面，

平面，平面，

即點為平面與平面的公共點.

又平面平面，

，即、、三點共線.

（2）（�。┻B，

、分別為棱、的中點，

為的中位線，

，，

，，

四邊形為平行四邊形.

，，

，，

四邊形為梯形，

與相交.

由（1）知：直線、、交于一點，

又平面平面，

幾何體為三棱臺.

（ⅱ）由題意：，，，

，

即棱臺的體積是.