Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）x+1，a∈R．
（1）求證：函數(shù)f（x）的圖象與x軸有交點；
（2）當a＞0時，求函數(shù)y=

f(x)

的定義域；
（3）若存在m＞0使關于x的方程f（|x|）=m+

1

m

有四個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用分類討論思想證明函數(shù)與x軸的交點．
（2）進一步利用分類討論思想求函數(shù)的定義域．
（3）根據(jù)方程有四個交點確定

△=(a+1)2-4a(1-t)＞0 a+1 a ＞0 1-t a ＞0

最后解不等式組求的結(jié)果．

解答： 證明：（1）已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）x+1，a∈R．
①當a=0時，f（x）=-x+1，
則與x軸的交點坐標為：（1，0）；
②當a＞0時，函數(shù)f（x）為開口方向向上的拋物線，
則：△=（a+1）²-4a=（a-1）²≥0；
③當a＜0時，函數(shù)f（x）為開口方向向下的拋物線，
則：△=（a+1）²-4a=（a-1）²≥0；
綜上所述：函數(shù)f（x）的圖象與x軸有交點；
解：（2）當a＞0時，y=

f(x)

=

ax2-(a+1)x+1

①當a=1時，y=

f(x)

=

ax2-(a+1)x+1

=

(x-1)2

，
所以x∈R；
②當0＜a＜1時，y=

f(x)

=

ax2-(a+1)x+1

=

(ax-1)(x-1)

，
則x的定義域為：{x|x＞

1

a

或x＜1}；
③當a＞1時，
y=

f(x)

=

ax2-(a+1)x+1

=

(ax-1)(x-1)

，
則x的定義域為：{x|x＞1或x＜

1

a

}；
解：（3）令t=m+

1

m

≥2，
則：關于x的方程f（|x|）=t有四個不等的實數(shù)根．
即：a|x|²+（a+1）|x|+1-t=0有四個不等的實數(shù)根．
即：ax²+（a+1）x+1-t=0有兩個正根．
則：

△=(a+1)2-4a(1-t)＞0 a+1 a ＞0 1-t a ＞0

，
解得：a＜-1．

點評：本題考查的知識要點：函數(shù)的分類討論的應用，函數(shù)的定義域，及函數(shù)的根的情況．屬于中等題型．