Question

12．已知直角梯形ABCD如圖1所示，CD=2，AB=4，AD=2，線段AB上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作AB的垂線交l，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時，記AP=x，l截直角梯形的左邊部分面積為S（x），
（1）試寫出S（x）關(guān)于x的函數(shù)，并在圖2中畫出函數(shù)圖象．
（2）當(dāng)點(diǎn)P位于何處時，S（x）為直角梯形ABCD面積的$\frac{3}{4}$？

Answer 1

分析 （1）可看出當(dāng)l在過C前和過C后面積S（x）的求法不同，從而分0≤x≤2和2＜x≤4兩種情況求面積S（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x}&{0≤x≤2}\\{-\frac{1}{2}（x-4）^{2}+6}&{2＜x≤4}\end{array}\right.$，然后根據(jù)S（x）的解析式畫出圖象即可；
（2）容易求出直角梯形ABCD的面積，從而得出S（x）=$\frac{9}{2}$，從而可以判斷出2＜x＜4，從而解方程$-\frac{1}{2}（x-4）^{2}+6=\frac{9}{2}$便可求出x，從而得出點(diǎn)P的位置．

解答 解：（1）0≤x≤4；
①當(dāng)0≤x≤2時，S（x）=2x；
②當(dāng)2＜x≤4時，$S（x）=4+\frac{（4-x+2）（x-2）}{2}=-\frac{1}{2}（x-4）^{2}+6$；
∴$S（x）=\left\{\begin{array}{l}{2x}&{0≤x≤2}\\{-\frac{1}{2}（x-4）^{2}+6}&{2＜x≤4}\end{array}\right.$；
S（x）的圖象如下：

（2）直角梯形ABCD的面積為：$\frac{（2+4）•2}{2}=6$；
∴$S（x）=6×\frac{3}{4}=\frac{9}{2}$；
∴S（x）＞S（2）=4；
∴2＜x＜4，令$-\frac{1}{2}（x-4）^{2}+6=\frac{9}{2}$得：$x=4-\sqrt{3}$，或x=4+$\sqrt{3}$（舍去）；
即P距離A4-$\sqrt{3}$處．

點(diǎn)評 考查矩形、梯形的面積公式，一次函數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象的畫法，分段函數(shù)圖象的畫法，對于分段函數(shù)已知函數(shù)值求自變量值時，需判斷自變量在哪一段上．