Question

6．（1）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，前n項之和A_n滿足A_n=$\frac{1}{4}$（a_n²+2a_n），且a_n＞0，求A_n；
（2）若數(shù)列{b_n}的前n項之和為B_n，且通項b_n滿足log₂a_n-log₂b_n=n+1+log₂n，求B_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（2）由log₂a_n-log₂b_n=n+1+log₂n，利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得：$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=n•2ⁿ⁺¹，再利用（1）可得：b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵A_n=$\frac{1}{4}$（a_n²+2a_n），
∴當(dāng)n≥2時，${A}_{n-1}=\frac{1}{4}（{a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}）$，
∴a_n=$\frac{1}{4}$（a_n²+2a_n）-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}）$，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為2，公差為2，
∴A_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
（2）∵log₂a_n-log₂b_n=n+1+log₂n，
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=n•2ⁿ⁺¹，
由（1）可得：a_n=2+2（n-1）=2n，
∴$\frac{2n}{_{n}}=n•{2}^{n+1}$，
∴b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$．
其前n項之和為B_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．