Question

17．求函數(shù)f（x）=xsinx+cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的單調(diào)區(qū)間和最值．

Answer 1

分析 根據(jù)求導(dǎo)公式和題意求出f′（x），結(jié)合定義域和余弦函數(shù)的性質(zhì)求出f′（x）＞0是x的范圍，奇求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．然后求出單調(diào)減區(qū)間，求解函數(shù)的最值．

解答 解：由題意得，f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，$\frac{π}{2}$]，單調(diào)減區(qū)間為：[$-\frac{π}{2}，0$]
f（$-\frac{π}{2}$）=$-\frac{π}{2}$sin（$-\frac{π}{2}$）+cos（$-\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，
f（0）=0×sin0+cos0=1，
f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$sin$\frac{π}{2}$+cos$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$，
函數(shù)的最大值為$\frac{π}{2}$，最小值為1．

點(diǎn)評 本題考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，屬于中檔題．