Question

（2011•天津模擬）已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x．
（Ⅰ）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）當(dāng)t＞-2時(shí)，判斷f（-2）和f（t）的大小，并說(shuō)明理由；
（3）求證：當(dāng)1＜t＜4時(shí)，關(guān)于x的方程：

f′(x)

ex

=

2

3

(t-1)2在區(qū)間[-2，t]上總有兩個(gè)不同的解．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定t的取值范圍，
（2）運(yùn)用函數(shù)的極小值進(jìn)行證明，
（3）首先對(duì)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判定．

解答：解：（1）因?yàn)閒′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
要使函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則-2＜t≤0，
（2））①若-2＜t≤0，則f（x）在[-2，t]上單調(diào)遞增，∴f（t）＞f（-2）；
②若0＜t＜1，則f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞增，在[0，t]上單調(diào)遞減
又f（-2）=13e^-2，f（1）=e，∴f（t）≥f（1）＞f（-2）；
③若t＞1，則f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減
∴f（t）＞f（1）＞f（-2），
   綜上，f（t）＞f（-2）．
（3）證：∵

f′(x0)

ex0

=x

2 0

-x0，∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，即為x₀²-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在[-2，t]（1＜t＜4）上總有兩個(gè)不同的解
因?yàn)間（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

(t-4)(t+2)，g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-

4

3

(t-1)2＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，同時(shí)考查了方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)．