Question

盒子內(nèi)裝有5張卡片，上面分別寫有數(shù)字1、1、2、2、2，每張卡片被取到的概率相等．先從盒子中任取1張卡片，記下它上面的數(shù)字x，然后放回盒子內(nèi)攪勻，在從盒子中任取1張卡片，記下它上面的數(shù)字y．設(shè)M=x+y，f(t)=

3

5

t2-Mt+

18

5

．
（1）求隨機(jī)變量M的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）設(shè)“函數(shù)f(t)=

3

5

t2-Mt+

18

5

在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求A的概率P（A）．

Answer 1

分析：（1）依題意，M的可能取值為2，3，4，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到要求的各自的概率，從而得出隨機(jī)變量M的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）對(duì)于不同的M值，看函數(shù)f(t)=

3

5

t2-Mt+

18

5

在區(qū)間（2，4）內(nèi)是否有且只有一個(gè)零點(diǎn)，從而得出事件A相當(dāng)于M=3．再利用（1）的結(jié)論即可得出答案．

解答：解：（1）依題意，M的可能取值為2，3，4．
先從盒子中任取1張卡片，然后放回盒子內(nèi)攪勻，在從盒子中任取1張卡片，基本事件總數(shù)為×5=25，
當(dāng)M=2時(shí)，摸出的卡片上分別寫著數(shù)學(xué)1，1．P（M=2）=

2×2

25

=

4

25

；
當(dāng)M=4時(shí)，摸出的卡片上分別寫著數(shù)學(xué)2，2．P（M=4）=

3×3

25

=

9

25

；
當(dāng)M=3時(shí)，P（M=3）=1-P（M=2）-P（M=4）=

12

25

．
所以M的分布列：

∴EM=2×

4

25

+3×

12

25

+4×

9

25

=

16

5

；
（2）∴M的可能取值為2，3，4．
當(dāng)M=2時(shí)，f(t)=

3

5

t2-2t+

18

5

沒有零點(diǎn)，不符合要求；
當(dāng)M=3時(shí)，f(t)=

3

5

t2-3t+

18

5

，它的零點(diǎn)分別是2，3，在區(qū)間（2，4）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，符合要求；
當(dāng)M=4時(shí)，f(t)=

3

5

t2-4t+

18

5

，它的零點(diǎn)分別是

10- 46

3

，

10+ 46

3

，都不在區(qū)間（2，4）內(nèi)，不符合要求；
∴事件A相當(dāng)于M=3，由（1）知，
事件A的概率P（A）=P（M=3）=

12

25

．

點(diǎn)評(píng)：求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來不難，運(yùn)算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．