Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，和為兩等腰直角三角形，，C(a,0)(a>0)．設(shè)和的外接圓圓心分別為,．

（1）若⊙M與直線CD相切，求直線CD的方程；

（2）若直線AB截⊙N所得弦長為4，求⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）是否存在這樣的⊙N，使得⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為，若存在，求此時⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）圓心．∴圓方程為，

直線CD方程為．          

∵⊙M與直線CD相切,∴圓心M到直線CD的距離d=,

化簡得： （舍去負(fù)值）．∴直線CD的方程為．

（2）直線AB方程為：，圓心N ．

∴圓心N到直線AB距離為．  

∵直線AB截⊙N的所得弦長為4，∴．

∴a=±(舍去負(fù)值) ． ∴⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 

（3）存在．

由（2）知，圓心N到直線AB距離為(定值)，且AB⊥CD始終成立，

∴當(dāng)且僅當(dāng)圓N半徑,即a=4時，⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為．

此時， ⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為．