Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-b

x2+1

在點（1，f（1））的切線方程為x-y-1=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=lnx，求證：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）已知0＜a＜b，求證：

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過解方程組求出a，b；從而函數(shù)解析式得解；
（Ⅱ）將問題中的g（x）≥f（x）變形為：h（x）=g（x）-f（x）≥0，再去研究h（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）由0＜a＜b得

b

a

＞1，代入（Ⅱ）化簡整理即可．

解答： 解：（Ⅰ）將x=1代入切線方程得y=0
∴f(1)=

a-b

1+1

=0，化簡得a-b=0①，
f′(x)=

a(x2+1)-(ax-b)•2x

(1+x2)2

由題意，切線的斜率為1，即f′(1)=

2a-2(a-b)

4

=1②，
由①②解得：b=2，a=2．
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．
（Ⅱ）由已知得：lnx≥

2x-2

x2+1

在[，+∞）恒成立，
整理得：（（x²+1）lnx≥2x-2，
即：x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）恒成立；
設(shè)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，
∴h′（x）=2xlnx+x+

1

x

-2；
∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，即h′（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
h（x）≥h（1）=0，
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．
（Ⅲ）∵0＜a＜b，∴

b

a

＞1，由（Ⅱ）知有l(wèi)n

b

a

＞

2 b a -2

( b a )2+1

，
整理得：

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

，
∴當(dāng)0＜a＜b時，

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

．

點評：本題是一道關(guān)于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題，求函數(shù)解析式是常見題型，（Ⅱ）中將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；不管問題怎樣變化，基本知識牢固掌握是基礎(chǔ)是前提．