Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同．直線過點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線的一個(gè)方向向量為，求的面積（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（3）試問：在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）定點(diǎn)，定值.

【解析】

（1）直接根據(jù)橢圓過點(diǎn)，求出，再根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是拋物線拋物線的焦點(diǎn)，求得，再求出，得到橢圓的方程.

（2）先求出直線方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)，再求出的面積.

（3）先設(shè)軸上是存在點(diǎn)使得為定值，設(shè)出直線，的坐標(biāo)，表示出

，再分析怎樣使為定值.

解：（1）橢圓過點(diǎn)，代入得，拋物線的焦點(diǎn)為，

得，得，故橢圓方程為．

（2），將直線與橢圓聯(lián)立，解得，，

如圖所示：

故．

（3）當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)：，，，，

將與橢圓聯(lián)立得，則有，，

則

由于該式不管取何值均為定值，故，得，定值為．

當(dāng)直線斜率為0時(shí)，，，．

綜上，定點(diǎn)，定值．