Question

11．設極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，兩個坐標系的單位相同．已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=m-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R，m∈R），若直線l與曲線C有公共點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$把圓的極坐標方程化為直角標準方程，把直線l的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)直線l與曲線C有公共點的充要條件是圓心C到直線l的距離d≤R，即可得出．

解答 解：曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ，化為ρ²=4ρsinθ，∴直角坐標方程為：x²+y²=4y，配方為：x²+（y-2）²=2，
可得圓心C（0，2），半徑R=$\sqrt{2}$．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=m-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t∈R），消去參數(shù)t可得2x+y-2-m=0．
∵直線l與曲線C有公共點，
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{|0+2-2-m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$≤$\sqrt{2}$，
解得$-\sqrt{10}$≤m≤$\sqrt{10}$．
∴實數(shù)m的取值范圍是$[-\sqrt{10}，\sqrt{10}]$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角標準方程、直線的參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓的公共點的充要條件、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．