【題目】已知橢圓的左焦點為，點為橢圓的左、右頂點，點是橢圓上一點，且直線的傾斜角為，，已知橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上異于的兩點，若直線的斜率等于直線斜率的倍，求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)離心率可求得，利用橢圓定義和余弦定理可構(gòu)造方程求得，進而確定，由此得到橢圓方程；

（2）設(shè)方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，可結(jié)合韋達定理求得點坐標，同理可得點坐標，由整理可得關(guān)于的函數(shù)的形式，利用對號函數(shù)可求得的最大值.

（1）橢圓的離心率，，

設(shè)橢圓右焦點為，連接，則，

在中，由余弦定理得：，

即，又 解得：，，，橢圓的方程為.

（2）由（1）知：，，

設(shè)直線斜率為，則直線方程為，

由得：，

則，

設(shè)，則，，，，

由可得直線方程為，

同理可求得：，

由對稱性，不妨設(shè)，則四邊形的面積：

，

令，則（當且僅當，即時取等號），

，的最大值為.

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【題目】已知在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD 的中點．

（Ⅰ）求證：PO平面；

（Ⅱ）求平面EFG與平面所成銳二面角的大��；

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（1）求a1，a2的值；

（2）求證：“a1，a2，…，an成等差數(shù)列”的充要條件是“”；

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【題目】如圖，是邊長為1的正三角形，點P在所在的平面內(nèi)，且（a為常數(shù)），下列結(jié)論中正確的是（ ）

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B.當時，滿足條件的點P有三個

C.當時，滿足條件的點P有無數(shù)個

D.當a為任意正實數(shù)時，滿足條件的點總是有限個

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（1）若直線變動時，點始終在以為直徑的圓上，求動點的軌跡方程；

（2）設(shè)圓，若直線與圓相切于點（點在線段上）.是否存在點使得？若存在，求出點坐標，若不存在，說明理由.

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【題目】已知橢圓C：（）的短軸長為，離心率為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設(shè)M，N分別為橢圓C的左、右頂點，過點且不與x軸重合的直線與橢圓C相交于A，B兩點是否存在實數(shù)t（），使得直線：與直線的交點P滿足P，A，M三點共線？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.

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【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．

（1）若恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，且，求證：．

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【題目】某電子設(shè)備工廠生產(chǎn)一種電子元件，質(zhì)量控制工程師要在產(chǎn)品出廠前將次品檢出.估計這個廠生產(chǎn)的電子元件的次品率為0.2%，且電子元件是否為次品相互獨立，一般的檢測流程是：先把個電子元件串聯(lián)起來成組進行檢驗，若檢測通過，則全部為正品；若檢測不通過，則至少有一個次品，再逐一檢測，直到把所有的次品找出，若檢驗一個電子元件的花費為5分錢，檢驗一組（個）電子元件的花費為分錢.

（1）當時，估算一組待檢元件中有次品的概率；

（2）設(shè)每個電子元件檢測費用的期望為，求的表達式；

（3）試估計的值，使每個電子元件的檢測費用的期望最小.（提示：用進行估算）

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（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值.

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