Question

已知函數f(x)＝2ex－ax－2(a∈R)

(1)討論函數的單調性；

(2)若f(x)≥0恒成立，證明：x1＜x2時，

 

Answer 1

(1)當x∈(－∞，ln)時，f(x)單調遞減；當x∈(ln，＋∞)時，f(x)單調遞增．(2)見解析

【解析】試題分析：(1)利用導數值的正負，通過對a范圍的討論，找出相應單調區(qū)間；(2)先確定a的范圍，然后利用(1)的結論找出f(x2)－f(x1)與x2－x1的關系式，

試題解析：(Ⅰ)f?(x)＝2ex－a．

若a≤0，則f?(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增；

若a＞0，則

當x∈(－∞，ln)時，f?(x)＜0，f(x)單調遞減；

當x∈(ln，＋∞)時，f?(x)＞0，f(x)單調遞增． 4分

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知若a≤0，f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，又f(0)＝0，故f(x)≥0不恒成立．

若a＞0，則由f(x)≥0＝f(0)知0應為極小值點，即ln＝0，

所以a＝2，且ex－1≥x，當且僅當x＝0時，取“＝”． 7分

當x1＜x2時，f(x2)－f(x1)＝2(ex2－ex1)－2(x2－x1)

＝2ex1(ex2－x1－1)－2(x2－x1)

≥2ex1(x2－x1)－2(x2－x1)

＝2(ex1－1) (x2－x1)，

所以＞2(ex1－1)． 12分

注：若有其他解法，請參照評分標準酌情給分．

考點:利用導數討論函數的單調性，分類與整合，不等式的證明