Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

（ω＞0，x∈R）的最小正周期為

π

2

．
（1）求f（

2π

3

）的值，并寫(xiě)出函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x∈[

π

3

，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

 cos2ωx
=sin（2ωx-

π

6

），
（1）∵函數(shù)的最小正周期為

π

2

，ω＞0
∴ω=2，
即f（x）=sin（4x-

π

6

），
∴f（

2π

3

）=sin（

8π

3

-

π

6

）=sin

π

2

=1，
令4x-

π

6

=kπ，
解得x=

kπ

4

+

π

24

，
所以函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（

kπ

4

+

π

24

，0）（k∈Z）
（2）當(dāng)x∈[

π

3

，

π

2

]時(shí)，4x-

π

6

∈[

7π

6

，

11π

6

]
∵當(dāng)4x-

π

6

∈[

7π

6

，

3π

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)
∴當(dāng)x∈[

π

3

，

π

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

3

，

5π

12

]．