Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³-3x²，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）當a=

1

3

時，令h（x）=f′（x）+6x，求證：當x∈（0，+∞）時，h（x）≥2elnx（e為自然對數(shù)的底數(shù)．）
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要證當x∈（0，+∞）時，h（x）≥2elnx即證f′（x）+6x-2elnx≥0，令F（x）=f′（x）+6x-2elnx=x²-2elnx
即證明F（x）的最小值≥0即可
（2）要求函數(shù)g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，即先根據(jù)求出函數(shù)的極值，在與斷點出的函數(shù)值比較，得出最大值，從而得到關于a的不等式

解答：解：（1）因為f(x)=

1

3

x3-3x2，所以f'（x）=x²-6x
所以h（x）=f'（x）+6x=x²，令F（x）=x²-2elnx，（x＞0）∴F′(x)=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

所以x∈(0，

e

]，F(xiàn)′(x)≤0；x∈[

e

，+∞)，F(xiàn)′(x)≥0
所以當x=

e

時，F(xiàn)（x）取得極小值，F(

e

)為F（x）在（0，+∞）上的最小值
因為F(

e

)=(

e

)2-2eln

e

=0
所以F(x)=x2-2elnx≥F(

e

)=0，即x²≥2elnx
（2）g（x）=ax³+（3a-3）x²-6x，x∈[0，2]
g'（x）=3ax²+2（3a-3）x-6（*），令g'（x）=0有△=36a²+36＞0
設方程（*）的兩根為x₁，x₂則，x1x2=-

2

a

＜0設x₁＜0＜x₂
當0＜x₂＜2時，g（x₂）為極小值，所以g（x）在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）；
當x₂≥2時，g（x）在[0，2]上單調遞減，最大值為g（0），所以g（x）在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）；
又已知g（x）在x=0處取得最大值，所以g（0）≥g（2）
即0≥20a-24解得a≤

6

5

，所以a∈(0，

6

5

]

點評：本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，分類討論的思想，屬于基礎題．