Question

14．設α、β是方程x²-（k-2）x+（k²+3k+5）=0的兩個實數(shù)根，當k為何值時，α²+β² 有最小值，并求出這個最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的性質得到不等式組，求出α²+β² 的表達式以及k的范圍，從而求出α²+β² 的最小值即可．

解答 解：若方程的兩個實數(shù)根為α和β，
∴$\left\{\begin{array}{l}{α+β=k-2}\\{αβ{=k}^{2}+3k+5}\\{△{=（k-2）}^{2}-4{（k}^{2}+3k+5）≥0}\end{array}\right.$，
則 $\left\{\begin{array}{l}{{α}^{2}{+β}^{2}{=（α+β）}^{2}-2αβ={-k}^{2}-10k-6}\\{-4≤k≤-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
而y=-k²-10k-6=-（k+5）⁵+19，
對稱軸k=-5，函數(shù)在[-4，-$\frac{4}{3}$]遞減，
∴k=-$\frac{4}{3}$時：y最小，最小值是$\frac{50}{9}$
∴α²+β²在區(qū)間[-4，-$\frac{4}{3}$]上的最小值$\frac{50}{9}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質，考查解不等式組問題，是一道中檔題．