Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點，點P（-，1）在橢圓上，線段PF₂與y軸的交點M滿足．
（1）求橢圓C的方程．
（2）橢圓C上任一動點M（x₀，y₀）關于直線y=2x的對稱點為M₁（x₁，y₁），求3x₁-4y₁的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知，點P（-，1）在橢圓上
∴有+=1①（1分）
又，M在y軸上，
∴M為P、F₂的中點，（2分）
∴-+c=0，c=．（3分）
∴由a²-b²=2，②（4分）
解①②，解得b²=2（b²=-1舍去），∴a²=4
故所求橢圓C的方程為+=1．（6分）
（2）∵點M（x₀，y₀）關于直線y=2x的對稱點為M（x₁，y₁），
∴（8分）
解得（10分）
∴3x₁-4y₁=-5x₀（11分）
∵點P（x₀，y₀）在橢圓C：+=1上，∴-2≤x₀≤2∴-10≤-5x₀≤10．
即3x₁-4y₁的取值范圍為[-10，10]．（12分）
分析：（1）由已知，點P（-，1）在橢圓上，又，M在y軸上，M為P、F₂的中點，由此解得b²=2，a²=4．從而能得到
所求橢圓C的方程．
（2）點M（x₀，y₀）關于直線y=2x的對稱點為M（x₁，y₁），由題設能導出3x₁-4y₁=-5x₀，由點P（x₀，y₀）在橢圓C上，知-2≤x₀≤2．由此可知3x₁-4y₁的取值范圍為[-10，10]．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．