Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{3{x}^{2}-6x+1，x＞0}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）畫出函數(shù)f（x）的圖象，結合圖象，寫出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）結合所畫圖形，討論直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象的交點個數(shù)．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)分段函數(shù)圖象分段畫的原則，結合一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質，可得函數(shù)f（x）的圖象，進而根據(jù)函數(shù)圖象的升降得到函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）結合所畫圖形，分當m＜-2，或m＞1時，當m=-2，或m=1時和當-2＜m＜1時，三種情況可討論直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象的交點個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{3{x}^{2}-6x+1，x＞0}\end{array}\right.$．
畫出函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，0]，[1，+∞），
函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為[0，1]，
（Ⅱ）結合所畫圖形，可得：
當m＜-2，或m＞1時，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有一個交點；
當m=-2，或m=1時，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有兩個交點；
當-2＜m＜1時，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象有三個交點；

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，函數(shù)圖象，圖象的交點個數(shù)，函數(shù)的單調區(qū)間，是函數(shù)圖象與性質的綜合應用，難度中檔．