Question

4．C是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上位于第一象限內(nèi)的點，A是橢圓的右頂點，F(xiàn)是橢圓的右焦點，且OC=CF．當(dāng)OC⊥AC時，橢圓的離心率為$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$．

Answer 1

分析 由題意，設(shè)C（$\frac{c}{2}$，y），則$\frac{y}{\frac{c}{2}}•\frac{y}{\frac{c}{2}-a}=-1$，可得C的坐標(biāo)，利用OC⊥AC時，得橢圓的離心率．

解答 解：由題意，設(shè)C（$\frac{c}{2}$，y），則$\frac{y}{\frac{c}{2}}•\frac{y}{\frac{c}{2}-a}=-1$，
∴y²=-$\frac{1}{4}$c²+$\frac{1}{2}$ac，
∵$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
∴y²=b²-$\frac{^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}$，
∴b²-$\frac{^{2}{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$c²+$\frac{1}{2}$ac，
化簡可得e=$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$．
故答案為：$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}$．

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．