Question

17．在數(shù)列{a_n}、{b_n}中，已知a₁=0，a₂=1，b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且滿足S_n+S_n+1=n²，2T_n+2=3T_n+1-T_n，其中n為正整數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）問是否存在正整數(shù)m，n，使$\frac{{T}_{n+1}-m}{{T}_{n}-m}$＞1+b_m+2成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對（m，n）若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用再寫一式．兩式相減的方法，可求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）由（1）T_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，利用$\frac{{T}_{n+1}-m}{{T}_{n}-m}$＞1+b_m+2成立，可得2＜（2-m）2ⁿ＜2+2^m+1，即可求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對（m，n）．

解答 解：（1）∵S_n+S_n+1=n²，
∴n≥2時，S_n-1+S_n=（n-1）²，
兩式相減可得a_n+a_n+1=2n-1，a₂+a₁=1符合，
∴a_n+a_n+1=2n-1，
∴n≥2時，a_n-1+a_n=2n-3，
兩式相減可得a_n+1-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項、偶數(shù)項都是公差為2的等差數(shù)列，
∵a₁=0，a₂=1，
∴a_n=n-1．
∵2T_n+2=3T_n+1-T_n，
∴2T_n+2-2T_n+1=T_n+1-T_n，
∴2b_n+2=b_n+1，
∵2b₂=b₁，
∴2b_n+1=b_n，
∴數(shù)列{b_n}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴b_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（2）由（1）T_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∵$\frac{{T}_{n+1}-m}{{T}_{n}-m}$＞1+b_m+2成立，
∴$\frac{2-\frac{1}{{2}^{n}}-m}{2-\frac{1}{{2}^{n-1}}-m}$＞1+$\frac{1}{{2}^{m+1}}$，
∴2^m+1＞（2-m）2ⁿ-2＞0，
∴2＜（2-m）2ⁿ＜2+2^m+1，
∴m＜2，即m=1，
此時，n=2，
綜上，所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對（m，n）為（1，2）．

點評 本題考查數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．注意培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．