Question

在數(shù)列{a_n}中，a₂+1是a₁與a₃的等差中項，設

x

=(1，2)，

y

=(an，an+1)，且滿足

x

∥

y

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_nlog₂（s_n+2），試求數(shù)列{b_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

分析：（1）通過向量平行，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出{a_n}的前n項的和為S_n，然后求出b_n=a_nlog₂（s_n+2）的表達式，利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項的和T_n．

解答：解：（1）因為

x

=(1，2)，

y

=(an，an+1)，

x

∥

y

，
所以a_n+1=2a_n，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，
又a₂+1是a₁與a₃的等差中項，
2（a₂+1）=a₁+a₃，即2（2a₁+1）=5a₁，
解得a₁=2，
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n=

2×(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_nlog₂（s_n+2）=2ⁿlog₂（2ⁿ⁺¹-2+2）=2ⁿ•（n+1），
T_n=2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ…①，
①×2得2T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹…②，
①-②得，-T_n=2×2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2-（n+1）•2ⁿ⁺¹+

2×(1-2n)

1-2

=2-（n+1）•2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-2
=-n•2ⁿ⁺¹，
數(shù)列{b_n}的前n項的和T_n=n•2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查數(shù)列的判斷，通項公式的求法，錯位相減法求和的方法，考查計算能力．