Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}滿足a_m•a_n=a²₃，則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)可得m和n均為正整數(shù)，且m+n=6，可得$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}滿足a_m•a_n=a²₃，
∴m和n均為正整數(shù)，且m+n=6，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）（m+n）
=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）
≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$）=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$即m=2且n=4時(shí)取等號，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值為：$\frac{3}{2}$
故答案為：$\frac{3}{2}$

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，涉及基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．