Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）當(dāng)E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離．

Answer 1

分析：（1）建立如圖的坐標(biāo)系，則

DA1

=(1，0，1)，設(shè)E（1，t，0），則

D1E

=(1，t，-1)，通過向量的數(shù)量積為0，計算可得D₁E⊥A₁D；
（2）當(dāng)E為AB的中點時，E（1，1，0），

D1E

=(1，1，-1)，求出平面ACD₁的一個法向量，最后利用點到面的距離公式即可求點E到面ACD₁的距離．

解答：解：（1）分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立如圖的坐標(biāo)系，則

DA1

=(1，0，1)，設(shè)E（1，t，0），
所以

D1E

=(1，t，-1)，

DA1

•

D1E

=1-1=0，
∴D₁E⊥A₁D；
（2）當(dāng)E為AB的中點時，E（1，1，0），

D1E

=(1，1，-1)，
設(shè)平面ACD₁的法向量是

n

=(1，y，z)，
求出

AD1

=(-1，0，1)，

AC

=(-1，2，0)，由

n

•

AD1

=0，

N

•

AC

=0，得

n

=(1，

1

2

，1)
∵

D1E

=（1，1，-1）
由點到平面的距離公式，得d=

| n • D1E |

| n |

=

|1×1+ 1 2 ×1+1×(-1)|

12+( 1 2 )2+12

=

1

3

，
∴點E到面ACD₁的距離是

1

3

．

點評：本小題主要考查向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系、點到平面的距離和線面關(guān)系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．