Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）無零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若存在兩個實數(shù)x₁，x₂且x₁≠x₂，滿足f（x₁）=0，f（x₂）=0，求證x₁x₂＞e²．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a≤0時，函數(shù)有零點；當a＞0時，極大值小于0，函數(shù)沒有零點，由此可求實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）由于f（x）有兩個相異零點x₁，x₂，可知f（x₁）=0，f（x₂）=0，再原不等式x₁•x₂＞e²進一步整理得到ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

，只要能證出上述不等式恒成立即可

解答： 解（Ⅰ）①若a＜0，則f′（x）＞0，f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)，
∵f（1）=-a＞0，f（e^a）=a-ae^a=a（1-e^a）＜0，
∴f（1）•f（e^a）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）有唯一零點．
②若a=0，f（x）=lnx有唯一零點x=1．
③若a＞0，令f′（x）=0得：x=

1

a

．
在區(qū)間（0，

1

a

）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
在區(qū)間（

1

a

，+∞）上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
故在區(qū)間（0，+∞）上，f（x）的極大值為f（

1

a

）=ln

1

a

-1=-lna-1．
由于f（x）無零點，須使f（

1

a

）=ln

1

a

-1=-lna-1，解得：a＞

1

e

．
故所求實數(shù)a的取值范圍是（

1

e

，+∞）．
（Ⅱ）設x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，
∴l(xiāng)nx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴l(xiāng)nx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂）
原不等式x₁•x₂＞e²等價于lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2，
?

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

，
令

x1

x2

=t，則t＞1，
∴l(xiāng)n

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

?lnt＞

2(t-1)

t+1

，
設g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，（t＞1），
∴g′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴函數(shù)g（t）在（1，+∞）是遞增，
∴g（t）＞g（1）=0即不等式lnt＞

2(t-1)

t+1

成立，
故所證不等式x₁•x₂＞e²成立．

點評：本題主要考查了導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)極值中的應用，連續(xù)函數(shù)的零點存在性定理及其應用，分類討論的思想方法，屬中檔題