Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為4的正方形，AA₁=2，點(diǎn)E、M分別為A₁B，C₁C的中點(diǎn)，過點(diǎn)A₁、B、M三點(diǎn)的平面ABMN與棱C₁D₁相交于點(diǎn)N
（1）求證：EM∥平面A₁B₁C₁D₁
（2）求三棱錐A₁-DEM的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取A₁B₁的中點(diǎn)F，連EF，C₁F；證明EF∥C₁M，從而EM∥平面A₁B₁C₁D₁；（2）體積轉(zhuǎn)化，三棱錐A₁-DEM的體積等于三棱錐A₁-NDM的體積．

解答： 解：（Ⅰ）（方法1 ）證明：取A₁B₁的中點(diǎn)F，連EF，C₁F
∵E為A₁B中點(diǎn)∴EF∥

1

2

BB₁
又∵M(jìn)為CC₁中點(diǎn)∴EF∥C₁M
∴四邊形EFC₁M為平行四邊形∴EM∥FC₁
而EM?平面A₁B₁C₁D₁，F(xiàn)C₁?平面A₁B₁C₁D₁
∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁
（方法2 ）可以證明四邊形A₁EMN為平行四邊形．

（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得EM∥A₁N又MN∥A₁E
∴四邊形A₁EMN為平行四邊形．
∴N點(diǎn)和E點(diǎn)到平面A₁DM的距離相等．
∴VA1-DEM=VE-A1DM
=VN-A1DM=VA1-NDM；
S△NDM=2•4-

1

2

•22-

1

2

•2•1-

1

2

•4•1=3．
VA1-EDM=VA1-NDM=

1

3

•3•4=4

點(diǎn)評：考查了線面平行的判定定理及體積的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．