Question

根據下列條件，求圓的方程：
（1）經過A（6，5）、B（0，1）兩點，并且圓心在直線3x+10y+9=0上；
（2）經過P（-2，4）、Q（3，-1）兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6．

Answer 1

分析：（1）求出AB的中垂線方程，聯立方程組，即可求出圓心坐標，利用兩點間距離公式求出半徑，從而得到所求的圓的方程．
（2）求出線段PQ的垂直平分線為y=x+1，設圓心C的坐標為（a，a+1），求出半徑r的表達式，利用圓心C到x軸的距離為d=|a+1|，由題意得3²+d²=r²，解得a，求出圓的方程即可．

解答：解：（1）∵AB的中垂線方程為：3x+2y-15=0，由

3x+2y-15=0 3x+10y+9=0

，解得

x=7 y=-3

，
圓心坐標為C（7，-3），BC=

65

故所求的圓的方程為 （x-7）²+（y+3）²=65．
（2）因為線段PQ的垂直平分線為y=x+1，
所以設圓心C的坐標為（a，a+1），
半徑r=|PC|=

(a+2)2+(a-3)2

=

2a2-2a+13

，圓心C到x軸的距離為d=|a+1|，
由題意得3²+d²=r²，即3²+（a+1）²=2a²-2a+13，
整理得a²-4a+3=0，解得a=1或a=3．
當a=1時，圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=13； 
當a=3時，圓的方程為（x-3）²+（y-4）²=25．
綜上得，所求的圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=13或（x-3）²+（y-4）²=25．

點評：本題是中檔題，考查圓的方程的求法，注意圓心到弦的距離與半徑，弦長的關系的應用，考查計算能力，轉化思想．