Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ） 圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于

π

3

，cos（φ+

π

4

）=0，其中ω＞0，|φ|＜

π

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出ω 和φ，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用三角函數(shù)的圖象關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵cos（φ+

π

4

）=0，
∴φ+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=kπ+

π

4

（k∈Z），
又∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

．
∵相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為

π

3

，
∴

T

2

=

π

3

，∴T=

2π

3

，∴ω=

2π

T

=3，
∴f（x）=sin（3x+

π

4

）．
（2）f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位后得g（x）=sin[3（x+m）+

π

4

]=sin（3x+3m+

π

4

）．
若g（x）是偶函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)3m+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），
即m=

kπ

3

+

π

12

（k∈Z），
從而，最小正實(shí)數(shù)m=

π

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)圖象的平移變換，求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．