Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a_n+2-3a_n+1+2a_n=2ⁿ恒成立，a₁=0，a₂=1．求證：a_n=（n-2）•2^n-1+1對n∈N⁺恒成立．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：若a_n+1與a_n的值確定，則a_n+2的值也是唯一的，滿足a_n+2-3a_n+1+2a_n=2ⁿ的每一項a_n都是唯一的，由此能求出a_n=（n-2）•2^n-1+1對n∈N⁺恒成立．

解答： 證明：∵a_n+2-3a_n+1+2a_n=2ⁿ恒成立，
∴an+2=3an+1-2an+2n，
若a_n+1與a_n的值確定，則a_n+2的值也是唯一的，
∵a₁=0，a₂=1，
∴滿足a_n+2-3a_n+1+2a_n=2ⁿ的每一項a_n都是唯一的，
將a₁=0，a₂=1代入a_n=（n-2）•2^n-1+1成立，
將a_n+2-3a_n+1+2a_n=2ⁿ代入：
n×2ⁿ⁺¹+1-3×（n-1）×2ⁿ-3+2×（n-2）×2^n-1+2
=n×2ⁿ⁺¹-3×n×2ⁿ+n×2ⁿ+2ⁿ
2ⁿ，
∴an=(n-2)•2n-1+1．
∴a_n=（n-2）•2^n-1+1對n∈N⁺恒成立．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．