Question

【題目】已知函數(shù)，

(I)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(II)對(duì)于任意，有，求實(shí)數(shù)的范圍

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，并求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)大小以及是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類討論單調(diào)性（2）先調(diào)整不等式為，再構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)單調(diào)遞增，即導(dǎo)函數(shù)恒非負(fù)，利用參變分離法轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題，解得實(shí)數(shù)的范圍

試題解析：（1）==

，

當(dāng)時(shí)， 在（0， 上單調(diào)遞增，在（1，a-1）上單調(diào)遞減；在（上遞增；

當(dāng)時(shí)， 在（0， 上單調(diào)遞增；

當(dāng) 在（0，a-1）上單調(diào)遞增，在（a-1，1）上單調(diào)遞減；在（上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在（0,1）上單調(diào)遞減，在（上單調(diào)遞增。

綜上所述： 的單調(diào)性為

當(dāng)時(shí)， 在（0， 上單調(diào)遞增，在（1，a-1）上單調(diào)遞減；在（上遞增；

當(dāng)時(shí)， 在（0， 上單調(diào)遞增；

當(dāng) 在（0，a-1）上單調(diào)遞增，在（a-1，1）上單調(diào)遞減；在（上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在（0,1）上單調(diào)遞減，在（上單調(diào)遞增。

（Ⅲ） ，

令

對(duì)于任意，有恒成立等價(jià)于函數(shù)在（0， 上是增函數(shù)。

=，令

當(dāng)時(shí)，要使在（0， 恒成立，因?yàn)?/span>。故只需 ， 即，即，無解

當(dāng)時(shí)，要使在（0， 恒成立，因?yàn)?/span>，只需

即+ ，化簡(jiǎn)得。

解得

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是。