在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4，∠CDA=120°.

（1）求證：BD⊥PC；
（2）設(shè)E為PC的中點，點F在線段AB上，若直線EF∥平面PAD，求AF的長；
（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

（1）證明過程詳見解析；（2）；（3）.

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線線垂直的判定和線面平行垂直的判定以及二面角的求法，可以運用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，先利用正三角形的性質(zhì)得出與垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)得出與垂直，利用線面垂直的判定得垂直平面，從而得證；第二問，先利用中位線證出，再根據(jù)線面平行的判定定理證明平面，再根據(jù)已知條件得面面平行，所以得到，再轉(zhuǎn)化邊和角的值求出；第三問，先根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，得出各個點坐標，計算出平面的法向量和平面的法向量，再利用夾角公式求出余弦值.
試題解析：（1）∵是正三角形，是中點，
∴，即.
又∵平面，∴.
又，∴平面.
∴.
（2）取中點連接則平面.
又直線平面，
所以平面平面，
∴，
∵為中點，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，得.
（3）分別以，，為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，
∴，，，．
為平面的法向量．
，．
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，
令，得，，則平面的一個法向量為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，四條側(cè)棱長均相等且交于點.

（Ⅰ）求證：;
（Ⅱ）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，,是邊長為2的等邊三角形，,.

（Ⅰ）求證：底面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大��；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P—ABCD中，ABCD為平行四邊形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M為PB的中點，PA=AD=2.

（Ⅰ）求證：PD//平面AMC；
（Ⅱ）若AB=1，求二面角B—AC—M的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在四棱錐中,⊥面,為線段上的點.

(Ⅰ)證明:⊥面 ;
(Ⅱ)若是的中點,求與所成的角的正切值;
(Ⅲ)若滿足⊥面,求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA底面ABCD，SA=AD，點M是SD的中點，ANSC且交SC于點N．

（Ⅰ）求證：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求證：平面SAC平面AMN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC =60°，AB=PC=2，AP=BP=．

（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，三棱錐中，平面，，，為中點.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在三棱錐中,側(cè)面與底面垂直, 分別是的中點,,,.

(Ⅰ)求證：平面;
(Ⅱ)若點為線段的中點，求異面直線與所成角的正切值.

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