Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（2，1），B（-1，1），若點P滿足，其中α，β∈R且2α²+β²=．
1）求點P的軌跡C的方程.2）設D（0，2），過D的直線L與曲線C交于不同的兩點M、N，且M點在D，N之間，設，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：1）設P（x，y），由條件，得，代入2α²+β²=．
可得，此即為點P的軌跡C的方程
2）當直線l斜率存在時，設l：y=kx+2，代入橢圓方程得：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
因為直線L與曲線C交于不同的兩點M、N，
所以△＞0，解得
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由維達定理可得x₁+x₂=，x₁x₂=
由可得x₁=λx₂代入上式可得

因為，所以，解得且λ≠1
當直線l斜率不存在時，
又因為M點在D，N之間，所以0＜λ＜1
所以λ的取值范圍是
分析：1）設P（x，y），由條件，x、y可由α和β表達，反解出α和β代入2α²+β²=．可得x和y的關系式，此即為點P的軌跡C的方程
2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由可得x₁=λx₂，
設出直線l的方程，與橢圓聯立、消元、維達定理，
點評：本題考查相關點法求軌跡方程、直線與橢圓的位置關系問題、求參數的范圍問題．考查運算能力和邏輯推理能力．
注意向量在題目條件中的作用，提供點的坐標的關系．