Question

4．定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，
①f（x）為周期函數(shù)；      
②f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱；      
③f（x）在[0，1]上為增函數(shù)；
④f（x）在[1，2]上為減函數(shù)；   
⑤f（2）=f（0）．
則上述說法正確的有①②⑤．

Answer 1

分析 由f（x）定義在R上的偶函數(shù)，則必有f（x）=f（-x），又有關(guān)系式f（x+1）=-f（x），兩個(gè)式子綜合起來就可以求得周期了．再根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，推出單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+1）=-[-f（x+1+1）]=f（x+2），
∴f（x）是周期為2的函數(shù)，則①正確．
又∵f（x+2）=f（x）=f（-x），
∴y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱，②正確，
又∵f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上是增函數(shù)，
∴f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
又∵對稱軸為x=1．
∴f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，f（2）=f（0），
故③④錯(cuò)誤，⑤正確．
故答案應(yīng)為①②⑤．

點(diǎn)評 本題考查了偶函數(shù)及周期函數(shù)的性質(zhì)問題，其中涉及到函數(shù)單調(diào)性問題．對于偶函數(shù)和周期函數(shù)是非常重要的考點(diǎn)，需要理解記憶，屬于中檔題．