Question

如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為.

(1)求橢圓的方程；

(2)是經(jīng)過右焦點(diǎn)的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn))，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記的斜率分別為.問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

(1)；(2).

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)代入橢圓的方程得到，結(jié)合離心率且，即可求解出，進(jìn)而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）依題意知，直線的斜率存在，先設(shè)直線的方程為，并設(shè)，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，消去得到，根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，由直線及的方程確定點(diǎn)的坐標(biāo)（含），進(jìn)而得到，

進(jìn)而整理出（注意關(guān)注并應(yīng)用共線得到），從而可確定的取值.

試題解析：(1)由在橢圓上得， ①
依題設(shè)知，則 ②
②代入①解得
故橢圓的方程為
(2)由題意可設(shè)的斜率為， 則直線的方程為 ③
代入橢圓方程并整理
得
設(shè)，則有 ④
在方程③中令得，的坐標(biāo)為
從而
注意到共線，則有，即有
所以
⑤
④代入⑤得
又，所以.故存在常數(shù)符合題意.
考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的綜合問題；3.二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.