Answer 1

(Ⅰ)見解析  (Ⅱ)

解析試題分析：(Ⅰ) 由于 f ′(x)＝3x²＋3(1－a)x－3a＝3(x＋1)(x－a)，且a＞0，
故f (x)在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，＋∞)上單調(diào)遞增．又
f (0)＝1，  f (a)＝－a³－a²＋1＝(1－a)(a＋2) ²－1．
當(dāng)f (a)≥－1時(shí)，取p＝a．
此時(shí)，當(dāng)x∈[0，p]時(shí)有－1≤f (x)≤1成立．
當(dāng)f (a)＜－1時(shí)，由于f (0)＋1＝2＞0，f (a)＋1＜0，
故存在p∈(0，a)使得f (p)＋1＝0．
此時(shí)，當(dāng)x∈[0，p]時(shí)有－1≤f (x)≤1成立．
綜上，對于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當(dāng)x∈[0，p]時(shí)，有－1≤f (x)≤1．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0，＋∞)上的最小值為f (a)．
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f (a)≥－1，則g(a)是方程f (p)＝1滿足p＞a的實(shí)根，
即2p²+3(1－a)p－6a＝0滿足p＞a的實(shí)根，所以
g(a)＝．
又g(a)在(0，1]上單調(diào)遞增，故
g(a)_max＝g(1)＝．
當(dāng)a＞1時(shí)，f (a)＜－1．
由于f (0)＝1，f (1)＝(1－a)－1＜－1，故
[0，p]Ì [0，1]．
此時(shí)，g(a)≤1．
綜上所述，g(a)的最大值為．
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用
點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識(shí)。