Question

10．給定數(shù)列{c_n}，如果存在常數(shù)p、q使得c_n+1=pc_n+q對任意n∈N^*都成立，則稱{c_n}為“M類數(shù)列”．
（1）若{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，判斷{a_n}是否為“M類數(shù)列”，并說明理由；
（2）若{a_n}是“M類數(shù)列”且滿足：a₁=2，a_n+a_n+1=3•2ⁿ．
①求a₂、a₃的值及{a_n}的通項(xiàng)公式；
②設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：對任意的正整數(shù)n，都有a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=3•2ⁿ⁺¹-4n-6，且集合M={n|$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$≥λ，n∈N^*}中有且僅有3個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+1=a_n+d與c_n+1=pc_n+q比較可知p=1、q=d，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）①通過a₁=2、a_n+a_n+1=3•2ⁿ計(jì)算出a₂、a₃的值，進(jìn)而利用數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”代入計(jì)算可知數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，計(jì)算可得結(jié)論；②通過①可知2b_n+2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁=3•2ⁿ⁺¹-4n-6，利用2b_n=（2b_n+2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁）-（2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁）計(jì)算可知b_n=2n-1，從而M={n|$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N^*}，分別計(jì)算出當(dāng)n=1、2、3時(shí)λ的值，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 （1）結(jié)論：公差為d的等差數(shù)列是“M類數(shù)列”．
理由如下：
∵數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，
∴a_n+1=a_n+d，
此時(shí)p=1、q=d，
即公差為d的等差數(shù)列是“M類數(shù)列”；
（2）①∵a₁=2，a_n+a_n+1=3•2ⁿ，
∴a₂=3•2-a₁=4，${a}_{3}=3•{2}^{2}-{a}_{2}$=8，
又∵數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=p{a}_{1}+q}\\{{a}_{3}=p{a}_{2}+q}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4=2p+q}\\{8=4p+q}\end{array}\right.$，
解得：p=2，q=0，
即a_n+1=2a_n，
又∵a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ；
②由①可知a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=3•2ⁿ⁺¹-4n-6，
即2b_n+2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁=3•2ⁿ⁺¹-4n-6，
∴2b_n-1+2²b_n-2+2³b_n-3+…+2^n-1b₁=3•2ⁿ-4（n-1）-6=3•2ⁿ-4n-2，
∴2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁=3•2ⁿ⁺¹-8n-4，
∴2b_n=（2b_n+2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁）-（2²b_n-1+2³b_n-2+…+2ⁿb₁）
=（3•2ⁿ⁺¹-4n-6）-（3•2ⁿ⁺¹-8n-4）
=4n-2，
即b_n=2n-1，
∴集合M={n|$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$≥λ，n∈N^*}={n|$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N^*}，
當(dāng)n=1時(shí)，λ≤$\frac{2-1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)n=2時(shí)，λ≤$\frac{2×2-1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$；
當(dāng)n=3時(shí)，λ≤$\frac{2×3-1}{{2}^{3}}$=$\frac{5}{8}$；
當(dāng)n≥4時(shí)，λ≤$\frac{2×4-1}{{2}^{4}}$=$\frac{7}{16}$；
又∵集合M={n|$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$≥λ，n∈N^*}中有且僅有3個(gè)元素，
∴$\frac{7}{16}$＜λ≤$\frac{1}{2}$，
故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（$\frac{7}{16}$，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．