Question

16．已知函數(shù)f（x）=2asin$\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+si{n}^{2}\frac{x}{2}-co{s}^{2}\frac{x}{2}（a∈R）$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小正周期及圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，在f（x）=0的條件下，求$\frac{cos2x-co{s}^{2}x}{1+sin2x}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式，化簡得到f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），根據(jù)周期定義和對(duì)稱中心即可求出答案；
（2）先求出tanx=$\frac{1}{2}$，再根據(jù)二倍角公式化簡，代值計(jì)算即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$=2π，
由x-$\frac{π}{4}$=kπ，（k∈Z）得x=$\frac{π}{4}$+kπ，（k∈Z），
對(duì)稱中心坐標(biāo)為（=$\frac{π}{4}$+kπ，0），（k∈Z），
（2）當(dāng)a=2．f（x）=0時(shí)，解得tanx=$\frac{1}{2}$，
$\frac{cos2x-co{s}^{2}x}{1+sin2x}$=$\frac{-si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x+si{n}^{2}x+2sinxcosx}$=$\frac{-ta{n}^{2}x}{1+ta{n}^{2}x+2tanx}$=$\frac{-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}+1}$=-$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二倍角公式，以及三角函數(shù)的周期對(duì)稱中心，關(guān)鍵是掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．