Question

2．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S． 
①當(dāng)$0＜CQ＜\frac{1}{2}$時(shí)，S為四邊形
②截面在底面上投影面積恒為定值$\frac{3}{4}$
③不存在某個(gè)位置，使得截面S與平面A₁BD垂直 
④當(dāng)$CQ=\frac{3}{4}$時(shí)，S與C₁D₁的交點(diǎn)滿足C₁R₁=$\frac{1}{3}$
其中正確命題的個(gè)數(shù)為   （　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 1對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)即可，對(duì)于①：得到0＜DT＜1，可以容易得到S為四邊形；對(duì)于②則找其投影即可；對(duì)于③，則需要找線面垂直關(guān)系即可；對(duì)于④，則需補(bǔ)圖完成．

解答 解：設(shè)截面與DD₁相交于T，則AT∥PQ，且AT=2PQ⇒DT=2CQ．
對(duì)于①，當(dāng)0＜CQ＜$\frac{1}{2}$時(shí)，則0＜DT＜1，所以截面S為四邊形，且S為梯形，故①正確；
對(duì)于②，當(dāng)CQ＞$\frac{1}{2}$時(shí)，投影面積不為$\frac{3}{4}$，故②不正確；
對(duì)于③，存在某個(gè)位置，使得截面S與平面A₁BD垂直，故③正確；
對(duì)于④，當(dāng)CQ=$\frac{3}{4}$時(shí)，如圖，
延長(zhǎng)DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=$\frac{1}{3}$，故④正確；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系等知識(shí)，考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及正方體的截面問(wèn)題，屬中檔題．