Question

12．計算題
（1）求值：${27^{\frac{2}{3}}}-{（{\root{3}{-125}}）^2}-{2^{{{log}_2}3}}×{log_2}\frac{1}{8}+{log_2}3×{log_3}4$
（2）求不等式的解集：①3^3-x＜2；②${log_5}（{x-1}）＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)化簡得答案；
（2）①由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化指數(shù)不等式為一元一次不等式求解；
②由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化對數(shù)不等式為一元一次不等式求解．

解答 解：（1）${27^{\frac{2}{3}}}-{（{\root{3}{-125}}）^2}-{2^{{{log}_2}3}}×{log_2}\frac{1}{8}+{log_2}3×{log_3}4$
=${（{3^3}）^{\frac{2}{3}}}-{（{-5}）^2}-3×{log_2}{2^{-3}}+\frac{lg3}{lg2}×\frac{2lg2}{lg3}$
=9-25-3×（-3）+2
=-5；
（2）①由3^3-x＜2，得${3^{3-x}}＜{3^{{{log}_3}2}}$，
∴3-x＜log₃2，則x＞3-log₃2，
∴不等式3^3-x＜2的解集為（3-log₃2，+∞）；
②由${log_5}（{x-1}）＜\frac{1}{2}$，得${log_5}（{x-1}）＜{log_5}\sqrt{5}$，
∴$0＜x-1＜\sqrt{5}$，則$1＜x＜\sqrt{5}+1$，
∴不等式${log_5}（{x-1}）＜\frac{1}{2}$的解集為$（{1，\sqrt{5}+1}）$．

點評 本題考查有理指數(shù)冪的化簡求值，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．