Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．
（1）證明：BN⊥平面C₁B₁N；  
（2）求二面角B₁-CN-A的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由題意∠BNB₁為直角，B₁C₁⊥BN，由此能證明BN⊥面C₁B₁N．
（2）以B為原點，BA為x軸，BB₁為y軸，BC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B₁-CN-A的正弦值．

解答： （1）證明：由題意：該幾何體的正視圖其正視圖為矩形，
側視圖為等腰直角三角形，
俯視圖為直角梯形．
則B₁C₁⊥面ABB₁N，且在ABB₁N內，
∴∠BNB₁為直角
∵B₁C₁⊥面ABB₁N且BN?面ABB₁N，
∴B₁C₁⊥BN，又∵BN⊥B₁N，且B₁N∩B₁C₁=B₁，
∴BN⊥面C₁B₁N
（2）解：以B為原點，BA為x軸，BB₁為y軸，
BC為z軸，建立空間直角坐標系，
由已知得B₁（0，8，0），C（0，0，4），
N（4，4，0），A（4，0，0），

CN

=（4，4，-4），

CB1

=（0，8，-4），

CA

=（4，0，-4），
設平面CNB₁的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • CN =4x+4y-4z=0 m • CB1 =8y-4z=0

，
取y=1，得

m

=（1，1，2），
設平面CNA的法向量

n

=（a，b，c），
則

n • CN =4a+4b-4c=0 n • CA =4a-4c=0

，
取a=1，得

n

=（1，0，1），
設二面角B₁-CN-A的平面角為θ．
則cosθ=

m • n

| m || n |

=

3

2

，∴sinθ=

1- 3 4

=

1

2

．
∴二面角B₁-CN-A的正弦值為

1

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．