Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1-2n+5，（n∈N且n≥2），a1=1，

（I）若bn=an-2n+1，求證數(shù)列{bn}（n∈N*）是常數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)；

（II）若Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，又cn=（-1）nSn，且{Cn}的前n項(xiàng)和Tn＞tn2在n∈N*時恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

Answer 1

【答案】（I）an=2n-1；（II）（-∞，-1）.

【解析】試題分析：（1）由已知中數(shù)列{an}滿足an=2an-1-2n+5（n∈N+且n≥2），a1=1．我們易得到an-2n+1=2[an-1-2（n-1）+1]，又由bn=an-2n+1，可得bn=2bn-1，且b1=0，進(jìn)而易判斷出數(shù)列{bn}（n∈N+）是常數(shù)列，即bn=0，再由bn=an-2n+1，即可給出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）中結(jié)論，我們易得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，進(jìn)而易得到Sn的表達(dá)式，根據(jù)cn=（-1）nSn，求出對應(yīng)的{cn}后，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別求出Tn解對應(yīng)的不等式式，即可求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

試題解析：

（1）由已知中數(shù)列{an}滿足an=2an-1-2n+5（n∈N+且n≥2），a1=1．我們易得到an-2n+1=2[an-1-2（n-1）+1]，又由bn=an-2n+1，可得bn=2bn-1，且b1=0，進(jìn)而易判斷出數(shù)列{bn}（n∈N+）是常數(shù)列，即bn=0，再由bn=an-2n+1，即可給出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）中結(jié)論，我們易得數(shù)列{an}為等差數(shù)列，進(jìn)而易得到Sn的表達(dá)式，根據(jù)cn=（-1）nSn，求出對應(yīng)的{cn}后，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別求出Tn解對應(yīng)的不等式式，即可求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）由an=2an-1-2n+5知：an-2n+1=2[an-1-2（n-1）+1]，而a1=1

于是由bn=an-2n+1，可知：bn=2bn-1，且b1=0

從而bn=0，故數(shù)列{bn}是常數(shù)列．

于是an=2n-1．

（2）Sn是{an}前n項(xiàng)和，則Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2，cn=（-1）nn2

當(dāng)n為奇數(shù)時，即n=2k-1，Tn=T2k-1=-12+22-32+42+…+（2k-2）2-（2k-1）2

=-k（2k-1）=-

當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn=T2k=T2k-1+（2k）2=．

∴Tn=．

由Tn＞tn2恒成立，則需＞tn2恒成立．只需n為奇數(shù)時恒成立．

∴（n=1，3，5，7，），

∴（n=1，3，5，7，）恒成立．

而，

∴t＜-1，故所需t的范圍為（-∞，-1）．