Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，，D，E分別為BB₁、AC的中點(diǎn)
（Ⅰ）證明：BE∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AD-C₁的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以BA所在的直線為x軸，BC所在的直線為y軸，BB₁所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，先求平面AC₁D的一個(gè)法向量，再證明：即可；
（Ⅱ）求二面角A₁-AD-C₁的大小，只需求兩平面的法向量的夾角即可．
解答：（Ⅰ）證明：以BA所在的直線為x軸，BC所在的直線為y軸，BB₁所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），，，，，，，
設(shè)平面AC₁D的一個(gè)法向量為，
則由和，，
取x=1，y=-1，，所以法向量，
又，，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225355935942417/SYS201311012253559359424018_DA/15.png">?平面AC₁D，所以BE∥平面AC₁D．
（Ⅱ）由（1）可知，平面AC₁D的法向量為．
又平面A₁AD的法向量為，所以=，
由圖可知，所求的二面角為銳角，所以二面角A₁-AD-C₁的大小為60°．
點(diǎn)評(píng)：本題以直三棱柱為載體，考查線面平行，考查面面角，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量．