Question

若數(shù)列{A_n}滿足A_n+1=A_n²，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（1）證明數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列{lg（2a_n+1）}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數(shù)列{a_n}的通項及T_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（3）記b_n=log_2an+1T_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n，并求使S_n＞2012的n的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=2a_n²+2a_n，2a_n+1+1=2（2a_n²+2a_n）+1=（2a_n+1）²，能證明數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”，由此能求出數(shù)列{lg（2a_n+1）}為首項是lg5，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由已知得a_n=

1

2

（5 2n-1-1），由此能求出T_n=5 2n-1．
（3）由b_n=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=2-

1

2n-1

，得S_n=2n-2+

1

2n-1

．由此能求出使S_n＞2012的n的最小值．

解答： （1）證明：∵a_n+1=2a_n²+2a_n，2a_n+1+1=2（2a_n²+2a_n）+1=（2a_n+1）²，
∴數(shù)列{2a_n+1}是“平方遞推數(shù)列”．
由以上結(jié)論lg（2a_n+1+1）=lg（2a_n+1）²=2lg（2a_n+1），
∴數(shù)列{lg（2a_n+1）}為首項是lg5，公比為2的等比數(shù)列．

（2）解：lg（2a_n+1）=[lg（2a₁+1）]×2^n-1=2^n-1lg 5=lg5 2n-1，
∴2a_n+1=5 2n-1，∴a_n=

1

2

（5 2n-1-1）．
∵lg T_n=lg（2a₁+1）+…+lg（2a_n+1）=（2ⁿ-1）lg 5，
∴T_n=5 2n-1．

（3）解：∵b_n=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=2-

1

2n-1

，
∴S_n=2n-2+

1

2n-1

．
∵S_n＞2 014，∴2n-2+

1

2n-1

＞2 014．
∴n+

1

2n

＞1008．∴n_min=1008．

點評：本題考查數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且為等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列{a_n}的通項及T_n關(guān)于n的表達(dá)式的求法，考查使S_n＞2012的n的最小值的求法，解題時要注意對數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．