Question

3．棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M，N，P分別為AB₁，BC₁，DD₁的中點，給出下列結(jié)論：
①異面直線AB₁，BC₁所成的角為$\frac{π}{3}$
②MN∥平面ABCD
③四面體A-A₁B₁N的體積為$\frac{1}{4}$
④MN⊥BP
則正確結(jié)論的序號為①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)正方體的性質(zhì)，以及異面直線所成的角，得到異面直線AB₁，BC₁所成的角即為AD₁與AB₁所成的角，即可判斷①，根據(jù)線面平行的判斷定理即可判斷②，根據(jù)正方體的體積為1，${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{4}$${S}_{四邊形{A}_{1}DC{B}_{1}}$，即可求出四面體A-A₁B₁N的體積，根據(jù)線面垂直得到線線垂直，即可判斷④．

解答 解：如圖所示
對于①連接AD₁，B₁D₁，則BC₁∥AD₁，則異面直線AB₁，BC₁所成的角即為AD₁與AB₁所成的角，因為AD₁=B₁D₁=AB₁，所以異面直線AB₁，BC₁所成的角為$\frac{π}{3}$，故①正確；
對于②連接B₁C，則交BC₁與N，所以MN是三角形B₁AC的中位線，所以MN∥AC，所以MN∥平面ABCD，故②正確；
對于③，連接A₁D，AN，A₁N，因為確；${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{4}$${S}_{四邊形{A}_{1}DC{B}_{1}}$，所以四面體A-A₁B₁N的體積為$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$×1=$\frac{1}{8}$；故③錯誤；
對于④，連接BO，因為AC⊥平面BB₁D₁D，所以MN⊥平面BB₁D₁D，又因為BP?平面BB₁D₁D，所以MN⊥BP
故④正確．
故答案為：①②④

點評 本題給出正方體模型，判斷關(guān)于異面直線所成角的幾個命題的真假性，著重考查了正方體的性質(zhì)、異面直線所成角的求法等知識，屬于中檔題．