Question

11．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
（1）求A的大��；
（2）求sinB+sinC取得最大值時(shí)三角形的形狀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a²=b²+c²+bc再與余弦定理聯(lián)立方程，可求出cosA的值，進(jìn)而求出A的值．
（2）把A=120°帶入sinB+sinC利用兩角和公式整理，最后利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得其取最大值時(shí)B的度數(shù)，進(jìn)而判斷三角形的形狀．

解答 解：由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
方程兩邊同乘以2R，
∴2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
整理得a²=b²+c²+bc，
∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
故cosA=-$\frac{1}{2}$，A=120°，
（2）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=sin（B+60°），
故當(dāng)B=30°時(shí)，sinB+sinC取得最大值1，三角形為等腰鈍角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．在解三角形問(wèn)題中經(jīng)常利用正弦定理和余弦定理完成邊角問(wèn)題的互化，屬于中檔題．