Question

如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中點(diǎn)．
（1）（文）求證AE與PB是異面直線(xiàn)．
（理）求異面直線(xiàn)AE和PB所成角的余弦值；
（2）求三棱錐A-EBC的體積．

Answer 1

分析：（1）（文）假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α，用反證法證明，推出矛盾這與P∉平面ABE矛盾，即可證明AE與PB是異面直線(xiàn)．
（理）取BC的中點(diǎn)F，連接EF、AF，則EF∥PB，說(shuō)明∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)AE和PB所成角，解三角形求異面直線(xiàn)AE和PB所成角的余弦值；
（2）求出底面ABC的面積，求出E到平面ABC的距離，即可求三棱錐A-EBC的體積．

解答：解：（1）（文）證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為α，
∵A∈α，B∈α，E∈α，
∴平面α即為平面ABE，
∴P∈平面ABE，
這與P∉平面ABE矛盾，
所以AE與PB是異面直線(xiàn)．
（理）取BC的中點(diǎn)F，連接EF、AF，則EF∥PB，所以∠AEF或其補(bǔ)角就是異面直線(xiàn)AE和PB所成角．
∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，
∴AF=

3

，AE=

2

，EF=

2

；
cos∠AEF=

2+2-3

2× 2 × 2

=

1

4

，
所以異面直線(xiàn)AE和PB所成角的余弦值為

1

4

．
（2）因?yàn)镋是PC中點(diǎn)，所以E到平面ABC的距離為

1

2

PA=1，
V_A-EBC=V_E-ABC=

1

3

×（

1

2

×2×2×

3

2

）×1=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，異面直線(xiàn)及其所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題，常考題型．