Question

設a是實數(shù)，f（x）=a-

2

2x+1

（x∈R）
（1）求a的值，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）求證：對任意實數(shù)a，f（x）在R上是增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)在零處有意義可得f（0）=0，建立等量關系，求出a
（2）運用函數(shù)的定義判斷證明函數(shù)的單調(diào)性，先在取兩個值x₁，x₂后進行作差變形，確定符號，最后下結(jié)論即可．

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=0，解得a=1；
（2）證明：設x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由于指數(shù)函數(shù)y=2^x在R上是增函數(shù)，
且x₁＜x₂，所以2x₁＜2x₂即2x₁-2x₂＜0，
又由2^x＞0，得2x₁+1＞0，2x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
所以，對于任意a，f（x）在R上為增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，函數(shù)是描述變量之間關系的數(shù)學模型，函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì)，屬于基礎題．