Question

已知函數(shù)．
（1）求f（x）的值域；
（2）設(shè)a≠0，函數(shù)，x∈[0，2]．若對任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)等于求出x的值，然后由x的值，分區(qū)間討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值和最小值即可得到f（x）的值域；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）在[0，2]上的值域是A，根據(jù)題意對任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）-g（x₂）=0，得到區(qū)間[0，2]是A的子集，求出g（x）的導函數(shù)，分a小于0和a大于0兩種情況討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值和最小值，即可得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的值域，根據(jù)區(qū)間[0，2]是A的子集判斷出符合這一條件的情況，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到滿足題意a的取值范圍．
解答：解：（1）對函數(shù)f（x）求導，．
令f'（x）=0得x=1或x=-1．
當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當x∈（1，2）時，f'（x）＜0，f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減．
又，
所以當x∈[0，2]，f（x）的值域是；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）在[0，2]上的值域是A．
∵對任意x₁∈[0，2]，總存在x∈[0，2]，使f（x₁）-g（x）=0，
∴．
對函數(shù)g（x）求導，g'（x）=ax²-a²．
 ①當a＜0時，若x∈（0，2），g'（x）＜0，所以函數(shù)g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減．
∵，
∴當x∈[0，2]時，不滿足；
 ②當a＞0時，．
令g'（x）=0，得或（舍去）．
（i）當x∈[0，2]，時，列表：

∵，
又∵，∴，解得．
（ii）當x∈（0，2），時，g'（x）＜0，∴函數(shù)在（0，2）上單調(diào)遞減，
∵g（0）=0，∴∴當x∈[0，2]時，不滿足．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是．
點評：此題考查學生會利用導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，靈活運用分類討論的數(shù)學思想，會利用導數(shù)求函數(shù)的值域，是一道綜合題．