【題目】已知函數(shù) 為常數(shù),e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行. (Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè)g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).證明:對任意x>0,g(x)<1+e﹣2 .
【答案】解:(Ⅰ)∵f′(x)= ,x∈(0,+∞), 且y=f(x)在(1,f(1))處的切線與x軸平行,
∴f′(1)=0,
∴k=1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:f′(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),
令h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),
當(dāng)x∈(0,1)時,h(x)>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時,h(x)<0,
又ex>0,
∴x∈(0,1)時,f′(x)>0,
x∈(1,+∞)時,f′x)<0,
∴f(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減;
證明:(Ⅲ)∵g(x)=(x2+x)f′(x),
∴g(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),
∴x>0,g(x)<1+e﹣21﹣x﹣xlnx< (1+e﹣2),
由(Ⅱ)h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),
∴h′(x)=﹣(lnx﹣lne﹣2),x∈(0,+∞),
∴x∈(0,e﹣2)時,h′(x)>0,h(x)遞增,
x∈(e﹣2 , +∞)時,h(x)<0,h(x)遞減,
∴h(x)max=h(e﹣2)=1+e﹣2 ,
∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2 ,
設(shè)m(x)=ex﹣(x+1),
∴m′(x)=ex﹣1=ex﹣e0 ,
∴x∈(0,+∞)時,m′(x)>0,m(x)遞增,
∴m(x)>m(0)=0,
∴x∈(0,+∞)時,m(x)>0,
即 >1,
∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2< (1+e﹣2),
∴x>0,g(x)<1+e﹣2
【解析】(Ⅰ)先求出f′(x)= ,x∈(0,+∞),由y=f(x)在(1,f(1))處的切線與x軸平行,得f′(1)=0,從而求出k=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:f′(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),令h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),求出h(x)的導(dǎo)數(shù),從而得f(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減;(Ⅲ)因g(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),由(Ⅱ)h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2 , 設(shè)m(x)=ex﹣(x+1),得m(x)>m(0)=0,進(jìn)而1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2< (1+e﹣2),問題得以證明.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減,以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍;
(3)證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)的最小正周期為π,且f( )= .
(1)求ω和φ的值;
(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)求f(x)在[0, ]上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3﹣6x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0 , 且x0>0,則a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣4)
B.(4,+∞)
C.(﹣∞,﹣4 )
D.(4 ,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ax2+4x﹣lnx.
(1)當(dāng)a=﹣3時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a≠0時,若f(x)是減函數(shù),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|y= },B={x|log2x≤1},則A∩B=( )
A.{x|﹣3≤x≤1}
B.{x|0<x≤1}
C.{x|﹣3≤x≤2}
D.{x|x≤2}
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【題目】在信息時代的今天,隨著手機(jī)的發(fā)展,“微信”越來越成為人們交流的一種方式,某機(jī)構(gòu)對“使用微
信交流”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽取了人,他們年齡的頻數(shù)分布及對 “使用微信交流”贊成的人數(shù)如
下表:(注:年齡單位:歲)
年齡 | ||||||
頻數(shù) | ||||||
贊成人數(shù) |
(1))若以“年齡歲為分界點”,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表,并通過計算判斷是否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“使用微信交流的態(tài)度與人的年齡有關(guān)”?
年齡不低于歲的人數(shù) | 年齡低于歲的人數(shù) | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
(2))若從年齡在, 的別調(diào)查的人中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的人中贊成“使用微信交流”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:參考數(shù)據(jù)如下:
參考公式: ,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足a2=2,a5=8.
(1)求{an}的通項公式;
(2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4 , 求{bn}的前n項和Tn .
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