Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上有最小值，記作g（a）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求g（a）
（2）求g（a）的函數(shù)表達(dá)式 
（3）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=1代入f（x）可求得對(duì)稱軸，借助圖象可得g（1）；
（2）對(duì)稱軸為x=

a

2

，按照對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三種情況進(jìn)行討論，借助圖象可得g（a）；
（3）由（2），按照a≤-2，-2＜a＜2，a≥2三種情況討論分別求出函數(shù)相應(yīng)的最大值，然后比較取其較大者即可；

解答：解：（1）∵a=1，∴f（x）=2x²-2x+3，
對(duì)稱軸為x=

1

2

∈[-1，1]，
∴g（a）=

5

2

，
（2）對(duì)稱軸為x=

a

2

，
①當(dāng)

a

2

≤-1，即a≤-2時(shí)，g（a）=f（-1）=2a+5；
②當(dāng)-1＜

a

2

＜1，即-2＜a＜2時(shí)，g（a）=f（

a

2

）=-

a2

2

+3；
③當(dāng)1≤

a

2

，即a≥2時(shí)，g（a）=f（1）=5-2a；
所以g（a）=

2a+5，a≤-2 - a2 2 +3，-2＜a＜2 -2a+5，a≥2

；
（3）當(dāng)a≤-2時(shí)，g（a）_max=g（-2）=1；
當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，g（a）_max=3；
當(dāng)a≥2時(shí)，g（a）_max=g（2）=1，
∴g（a）_max=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．