Question

15．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期為4π．
（1）若函數(shù)y=f（x+θ）（0＜θ＜2π）為偶函數(shù)，求θ的值；
（2）若f（α）=$\frac{4}{5}$，0＜α＜π，求sin（α-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，再利用正弦函數(shù)的奇偶性，求得θ的值．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$）的值，再利用二倍角公式求得sin（α+$\frac{2π}{3}$）的值，利用誘導(dǎo)公式求得sin（α-$\frac{π}{3}$）=sin[（α+$\frac{2π}{3}$）-π]的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=4π，
∴ω=$\frac{1}{2}$，f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
根據(jù)函數(shù)y=f（x+θ）=sin[$\frac{1}{2}$（x+θ）+$\frac{π}{3}$]=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{3}$）（0＜θ＜2π）為偶函數(shù)，
可得$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即 θ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，∴θ=$\frac{π}{3}$．
（2）∵f（α）=sin（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，0＜α＜π，∴$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），
∵$\frac{4}{5}$∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，∴$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$），∴cos（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{α}{2}+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（α+$\frac{2π}{3}$）=2sin（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$）cos（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{24}{25}$，
sin（α-$\frac{π}{3}$）=sin[（α+$\frac{2π}{3}$）-π]=-sin（α+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{24}{25}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性和奇偶性，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．